Saml din egen fodbold

Hej Børge

Jeg drister mig til at presse et lille spørgsmål ind her: Har du set mit indlæg #47 i tråden om MELLEMRUM ?

Ved nærmere eftertanke tror jeg heller ikke at den tidligere nævnte C60 kugle eller nogen anden overflade af 5-kanter og 6-kanter  har en indskreven kugle, der tangerer alle flader. Så min tetradekahedron må være den simpleste af de efterspurgte flader, selv om den måske virker lidt akavet som en fodbold.

Man kan bevise, at ugens opgave kun har én løsning ved at lade fladen bestå af f femkanter og s sekskanter og indsætte i Eulers formel.

Opgaveteksten skriver: Hvor mange femkanter skal der bruges? Dette betyder efter min mening ikke at svaret kun kan være et enkelt tal. Det kunne også være "12 eller 24" eller "et tal deleligt med 12". Det blev allerede i første indlæg klart, at tallet 12 er en løsning, men jeg fisker efter en begrundelse for, at der ikke er andre løsninger. Den har vi ikke fået endnu. Og den hører vel med til en komplet besvarelse? Hans Bendix var i gang med Eulers regel, men skal bare gøre det mere generelt.

Jeg tror ikke opgavestilleren har bedt om et bevis. Men:

Selve polyederet kan fremstilles ved at tilskære et ikosaeder ved de 12 hjørner,  så fremkommer der en figur med  32 felter og hjørnerne afskåret giver 12 femkanter og resten er sekskanter. 

Der er ingen grund til at checke Eulers regel for et kendt legeme eftersom Eulers regel jo er korrekt, dvs. gælder for alle legemer. Jeg ærgrer mig over at jeg ikke selv fandt ud af at der altid skal være 12 femkanter inden jeg kikkede i løsningen. Derfor har jeg et par gange udfordret jer andre til at gennemføre beviset inden Søren gør det i næste uge.

Løsningen med 12 femkanter og 20 sekskanter, 60 hjørner og 90 kanter lever op til Eulers polyedersætning som tilsiger at h-k+f=2

Hjørner -kanter + flader =2

Dvs 60-90+32=2

Du har ret. Det overså jeg i glæden over at finde sådan en flot figur på Nettet.

Men den figur har da vist ikke en indskrevet kugle?

I ugens opgave kan man bevise, at alle krumme overflader bestående kun af regulære femkanter og sekskanter altid indeholder 12 femkanter. Det mangler I at bevise, og jeg har snydekigget i løsningen. Det simpleste eksempel er en tetradekahedron (hvor tetradeka betyder 14 på græsk) bestående af 2 sekskanter og 12 femkanter. Man kan let forestille sig den ved at lægge et sekskantet stykke pap på bordet og op til hver side at tilføje et femkantet stykke med samme sidelængde. Femkanterne bøjes nu opad til de støder sammen med deres naboer. En tilsvarende konstruktion, men med bunden i vejret kan nu sænkes ned over den i en lidt drejet tilstand, så der dannes en lukket overflade. Man kan se den smukke figur ved at google " 14 sided 3d shape".

Med 2 slags polygoner kræves 5 flader, for eksempel en pyramide inklusiv grundflade. Der er også en anden løsning med 5 flader, hvilken?

Ja, undskyld, jeg kan ikke tælle.  Den anden løsning er en trekantet prisme: To trekanter og tre firkanter.

Med 2 slags polygoner kræves 5 flader, for eksempel en pyramide inklusiv grundflade. Der er også en anden løsning med 5 flader, hvilken?

Opgaveteksten i ugens opgave beder ikke om et bevis, men der kræves vel en argumentation for at tallet 12 er den eneste løsning?

Et legemes overflade er sammensat af 2 slags regulære polygoner. (Regulær betyder ligesidet og ensvinklet). Hvor få polygoner kan der være tale om?

En pyramide med firkantet base (et oktaeder skåret over på midten) består af fire regulære polygoner.  Altså højest 4.  Man kan ikke lave et polyeder med kun tre flade polygoner (uanset om de er regulære eller ej).  Altså mindst 4, og dermed præcis 4.

Opgaveteksten beder om et bevis for de 12 femkanter. Jeg har set løsningen, så jeg siger ikke noget.

Der står ikke noget i opgaveteksten om et bevis.

Et legemes overflade er sammensat af 2 slags regulære polygoner. (Regulær betyder ligesidet og ensvinklet). Hvor få polygoner kan der være tale om?

Opgaveteksten beder om et bevis for de 12 femkanter. Jeg har set løsningen, så jeg siger ikke noget.

Enhver lukket figur lavet med regulære femkanter og sekskanter vil have præcis 12 femkanter.  Antallet af sekskanter kan variere -- f.eks. er der ingen i et dodekaeder og 20 i en fodbold (f.eks. C60).

Hvis du tillader ikke-regulære femkanter er svaret anderledes.  Man kan f.eks. lave en polyeder af 24 ens ikke-regulære femkanter (https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_icositetrahedron).

Hvilket bringer os til spørgsmålet om fodbolden blev designet efter  C60 eller om det er tilfældigt sammenfald - jeg mindes i hvert fald fodbolde syet som håndbolde.

Da jeg for år tilbage lavede de 4 regulære polyedre af tændstikker, lavede jeg også "fodbolden" eller C60 molekylet med de 12 femkanter og 20 sekskanter. Den er ikke så nem at holde faconen på, skal jeg hilse og sige. Desværre kan man ikke lægge fotos af den ind her.

Du har kun én ligning, nemlig den opskrevne, hvor indsættelse af antal femkanter og antal sekskanter fører til en teoretisk set uendelighed af løsninger til ligningen. Nogle af dem er simplere end den foreslåede, men jeg ved ikke om der er en praktisk begrænsning på antallet.

Vi der ikke er kemikere må gå den slagne vej. Euler lavede en formel for denne type legemer. Den siger

antal hjørner - antal kanter + antal flader = 2

3 ligninger opstilles og løses. Resultatet er antal 5-kanter =12 og antal 6-kanter = 20

Opgaverne kan vist ikke mere "tankeløst" genbruges, hverken i Ingeniøren eller på DTU (skuffeopgaver). Fagene udvikler sig og WWW er opfundet og i brug hos mange.

Svaret må være 12 5-kanter.

Buckminsterfullerene er det kemiske stof carbon-60 (C60) og bygget som en fodbold.

De 60 carbonatomer danner 32 felter, 20 regulære sekskanter og 12 regulære femkanter.